A Gauss-módszer: megoldások és speciális esetek példái

A Gauss-módszer, amelyet lépésről-lépésre is neveznekaz ismeretlen változók kizárása a megkülönböztetett német tudós K.F. Gauss, aki élete során megkapta a "Matematika királyának" nem hivatalos címet. Azonban ez a módszer már régen az európai civilizáció születése előtt ismert, már az első században. BC. e. az ősi kínai tudósok írásaikban használják.

A Gauss-módszer klasszikus módszer a lineáris algebrai egyenletek (SLAE) rendszerek megoldására. Ideális a határolt mátrixok gyors megoldásához.

Maga a módszer két lépésből áll: közvetlen és vissza. Közvetlen természetesen az úgynevezett bemutatott szekvencia SLAE háromszög alakú, azaz nulla értéket a fő átló. Visszahúzás során következetes megállapítását változók, kifejező egyes változó az előző.

A Gauss-módszer gyakorlatban történő alkalmazása egyszerű, elég, ha ismeri a számok szorzásának, kiegészítésének és kivonásának elemi szabályait.

Annak érdekében, hogy demonstráljuk az algoritmust a lineáris rendszerek megoldására ezzel a módszerrel, vegyünk egy példát.

Szóval, oldja meg a Gauss-módszer használatát:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Meg kell szabadulnunk az x változótól a második és a harmadik sorban. Ehhez hozzá kell adni az elsőt, meg kell szorozni a -2-tel és a -4-gyel. Kapunk:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Most szaporodjon a második sor 5-szel, és add hozzá a harmadikhoz:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

A rendszerünket háromszög alakra vezettük. Most visszafordulunk. Az utolsó sorral kezdjük:
-3z = -18,
z = 6.

Második sor:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

Első sor:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
х = -3

A változók megszerzett értékeinek helyettesítése a kezdeti adatokban meggyőződésünk a megoldás helyességéről.

Ez a példa sok más helyettesítéssel megoldható, de a válasznak azonosnak kell lennie.

Ez történik a vezető első sorbanvannak elemek túl kicsi értékekkel. Nem ijesztő, de nagyon bonyolult. A megoldás erre a problémára a Gauss-módszer a fő elem választása az oszlop által. Ennek lényege a következő: az első sorban megtalálható a maximális elem, az oszlop, amelyben található, az első oszlopra cserélődik, vagyis a maximális elemünk a fő átlós elem első eleme. Következő lesz a standard számítási folyamat. Szükség esetén meg lehet ismételni az oszlopok cseréjét.

Egy másik módosított Gauss-módszer a Jordan-Gauss-módszer.

A négyzet SLAU megoldására használják, amikor megtalálják az inverz mátrixot és a mátrix rangját (a nem nulla sorok számát).

Ennek a módszernek a lényege az, hogy az eredeti rendszer transzformációk útján átalakul egy egységmátrixba, és további változók értékeit keresi.

Algoritmusa a következő:

1. Az egyenletek rendszere a Gauss-módszerhez hasonlóan háromszög alakú.

2. Minden egyes sor egy bizonyos számmal van elosztva, így a fő átlós egységet megkapjuk.

3. Az utolsó sort megszorozzuk egy bizonyos számmal, és kivonjuk az utolsó előtti értékből egy ilyen számítással, hogy 0-at kapunk a fő átlón.

4. A 3 műveletet egymás után ismételjük minden sorhoz, amíg végül egy egységmátrix keletkezik.

</ p>